В качестве простого примера того, как способность придерживаться золотой середины связана с исходом игр, расскажу маленькую зарисовку из своей жизни. (Как мне помнится, об этом я уже как-то и где-то упоминал, но теперь уже и не вспомню – когда и где. Надеюсь, читатели не будут излишне взыскательны ко мне за этот повтор своего же рассказа.) В пресловутые девяностые годы у меня с двумя товарищами сложилась традиция играть в карточную игру преферанс (ну, кто не слышал о такой?). В течение многих лет мы играли регулярно, часто и, естественно, на интерес. Познакомились мы, в своё время, в Московском Авиационном Институте, где после окончания этого ВУЗа занимались научной работой на кафедрах одного и того же факультета. Соответственно, образование мы имели одинаковое, и на фоне друг друга особо не выделялись какими-то способностями. Это я говорю к тому, что через несколько лет совместной игры мы практически одинаково освоили премудрости преферанса, а также досконально изучили взаимные психологические особенности. В общем, не ошибусь, если скажу, что все мы стали играть примерно на одном уровне; никто при этом какими-то сокровенными сведениями об игре не обладал, и мы, естественно, были бесконечно далеки от каких-бы то ни было проявлений шулерства. Так как играли мы, действительно, очень много, говорить о том, что карта кому-то пёрла, а к кому-то поворачивалась задом, не приходится – в этом смысле, в среднем всем везло одинаково. Но вот ведь какая со временем стала вырисовываться картина маслом – я регулярно выигрывал, но относительно немного; зато Александр поставил дело на поток – громкий шелест купюр, приплывающих в победном потоке в его карман, был пропорционален величине его постоянного и немалого выигрыша; но если двое выигрывали, то должен же был быть и третий, выступавший в качестве перманентного неудачника – его роль, так уж получилось, исполнял Виктор. Таким образом, невооружённому взгляду (но при этом одновременно и весьма чувствительным кошелькам) открылась конкретная тенденция, которую следовало грамотно истолковать. И вскоре я нашёл всему простое объяснение. В преферансе, как и в любой игре, да и практически во всём в жизни, есть место риску; а за риском, как известно, стоит возможность как выиграть какое-то количество денег (или очков), так и проиграть. Причём, пропорция между суммами возможного выигрыша и проигрыша меняется в зависимости от многих факторов, в частности – от степени риска, который принимает на себя игрок, выбирая то или иное решение. В нашей карточной игре Виктор, в силу особенностей своего характера, постоянно шёл на риск, не особо считаясь с возможными последствиями. Как результат, в те моменты, когда очередная авантюра проваливалась, ему приходилось довольно «больно» за это платить – совсем несоразмерно тому риску, на который он шёл без всяких церемоний. Благо, достаток в то время вполне давал ему возможности поступать так, как хочется, а не только «по игре». Я же, в отличие от Виктора, склонялся к иной крайности – регулярно перестраховывался и не позволял себе разумно рискнуть, чтобы в удобные для этого моменты выиграть побольше. Такая явно неоптимальная стратегия вела к тому, что проигрыш почти всегда обходил меня стороной, но и выигрыш обычно был невелик – радоваться скорее приходилось факту победы, а не сумме полученных наличных. В этом смысле меня значительно перещеголял Александр – он выигрывал и регулярно и по многу. И причиной тому было то, что ему удавалось очень грамотно принимать на себя допустимый уровень риска – не запредельно высокий, как у Виктора, но и не неоправданно заниженный, как у меня. Иными словами, причину успехов Александра следует искать в том, что его решения, по сравнению с нашими, были намного ближе к той золотой середине, которая часто скрывается за словами «по игре».

Однако, пришла пора перейти от понятия золотой середины конкретно к тому, что значится в заголовке – к золотому сечению. Чтобы те, кто впервые об этом слышит, сразу же «на пальцах» прочувствовали суть излагаемого, начну с небольшого экскурса в то время, когда человечество только-только подходило к пользованию пластиковыми картами, ставшими сегодня неотъемлемым атрибутом нашей жизни. Когда решался вопрос о том, как должны выглядеть эти карты – то есть, какую форму им следует придать – дальновидные люди не стали самостоятельно принимать волюнтаристических решений, а постарались найти ответ путём своеобразного социального опроса. Для этого были изготовлены карты разнообразных форм – от квадратных до удлинённых полосок. Вот их-то и показывали опрашиваемым людям, которых просили выбрать ту карточку, которая оказывалась им больше по душе. Результаты такого исследования оказались удивительными – просто подавляющим большинством голосов «победила» карточка, к виду которой мы сегодня привыкли. Ну а позже выяснилось, что форма этой карты основана на том, что называется золотым сечением: пропорция между длиной карты и её шириной оказалась равной пропорции золотого сечения. О том, что это – такое, расскажу так, чтобы было понятно всем, включая тех, кто в школе ходил в двоечниках.

Представьте, что Вы держите в руках верёвку, длина которой – для простоты – равна одному метру. Разрежем эту верёвку не абы где, а в особом месте – в так называемом золотом сечении. Выберем это место так, чтобы получающиеся два куска верёвки удовлетворяли следующему условию: отношение длины большого куска к длине маленького куска должно быть равно отношению длины неразрезанной верёвки (100 см) к длине большого куска. Математически определить то место, где нужно резать, может даже школьник – для этого следует выписать указанное выше условие равенства отношений и затем решить получающееся при этом алгебраическое уравнение. Результаты решения таковы: длина большого куска составляет примерно 61.8 см, а длина маленького куска равна приблизительно 38.2 см (естественно, в сумме два куска дают исходную длину верёвки 100 см). Нетрудно проверить, что условие равенства двух отношений соблюдается: 61.8 / 38.2 = 100 / 61.8 ≈ 1.618. Таким образом, отношение длины маленького куска верёвки к полной длине равно 0.382, или, иначе говоря, маленький кусок составляет 38.2 процента от исходной длины; отношение же длины большого куска к длине неразрезанной верёвки равно 0.618, то есть большой кусок соответствует 61.8% длины всей верёвки. Каждое из указанных чисел 1.618, 0.382 и 0.618 определяет пропорции и вытекающие из них удивительные свойства, которые принято называть этим красивым словосочетанием «золотое сечение». За чудесные свойства, связанные с этой пропорцией, люди в разные годы с благоговением именовали золотое сечение божественной пропорцией, золотым числом и божественным сечением.

Вернёмся снова к пластиковой карточке и посмотрим – что означают для неё приведенные выше цифры. Они говорят о следующем: длина карты в 1.618 раза превосходит её ширину; отношение длины карты к половине её периметра (то есть, к сумме длины и ширины) равно 0.618; отношение ширины карты к половине периметра составляет 0.382. Благодаря указанным пропорциям, проявляется не только эстетика формы карты, но и разнообразные геометрические «фокусы». Например, если положить рядом две карты, одна из которых будет располагаться горизонтально, а другая – вертикально, то линия, диагонально «рассекающая» одну карту, попадёт точно в угол соседней карты:

Понятие золотого сечения известно людям с весьма древних времён. Уже примерно в 300 году до нашей эры соответствующее определение дал основатель геометрии Евклид. Величайшие умы человечества в разные времена немало размышляли над пропорциями золотого сечения и его особенными математическими свойствами. Для примера можно назвать древнегреческих мудрецов Пифагора и Евклида, средневекового итальянского учёного Леонардо Пизанского, немецкого астронома, механика и оптика эпохи Возрождения Иоганна Кеплера, многих современных научных светил по всему Земному шару. Но эта тематика зачаровывала далеко не только тех, кто занимался математикой. Биологи, живописцы, историки, музыканты, архитекторы, психологи и даже мистики старались понять – почему пропорция золотого сечения проявляет себя так разнообразно и настолько удивительно. Можно даже сказать, что золотое сечение вдохновляло мыслителей и умельцев из всех областей знаний и творчества.

Не буду здесь приводить много примеров того, какими неожиданными, но удивительно гармоничными способами являет себя золотое сечение в том мире, в котором нам выпало жить. Искренне советую прочитать об этом какую-нибудь статью или книгу, ведь сегодня найти их в Интернете – проще пареной репы. Если же лень обуяет настолько, что читать Вы отказываетесь под любыми предлогами, то посмотрите какой-нибудь научно-популярный фильм, рассказывающий о таинствах золотого сечения. Знаю, что по Сети гуляет множество съёмок на эту тему.

Чтобы показать то, что золотое сечение это – не только деление отрезка на две части и не только эстетичные формы прямоугольников, а кроме того, что эффект такого сечения обычно проявляется не напрямую, а косвенно, затрону лишь один пример. Ниже на рисунке изображён «золотой» прямоугольник, для которого выполняются пропорции золотого сечения: по форме он, конечно же – точно такой же, как и любая пластиковая карточка (хотя, и отличается от них абсолютными размерами). Впишем в этот прямоугольник квадрат, стороны которого равны ширине прямоугольника. Тогда окажется, что место, не занятое этим квадратом, представляет собой прямоугольник, отвечающий пропорциям золотого сечения. Естественно, он – меньше исходного прямоугольника, но будет подобен ему по форме. Не правда ли – уже удивительно? Повторим такие же действия еще несколько раз и получим следующую картину (вписываемые квадраты я последовательно пронумеровал):


А теперь в каждом из квадратов проведём дугу, соединяющую противоположные углы – это можно легко сделать с помощью циркуля, если его раствор (расстояние между иглой и грифелем) выбрать равным длине стороны квадрата. Получится вот такая картинка:



Согласны ли Вы с тем, что кривая линия, составленная из всех нарисованных дуг, имеет весьма элегантный вид? Среди математиков она даже получила собственное имя – логарифмическая спираль. А не кажется ли, что подобное «закручивание» Вы где-то раньше уже видели? Не получается припомнить? Тогда я помогу. Может, Вам попадались когда-нибудь фотографии спиральных галактик? Интересно – почему эти галактики имеют именно такую форму?


А раковина головоногого моллюска «Наутилус Помпилиус» Вам ни что не напоминает? С чего бы это, вдруг, вздумалось моллюску строить свой домишко именно так? Не иначе, как сам Создатель надоумил его.

Помимо этого, существует масса подобных удивительных примеров во всех сферах нашей жизни. Можно даже, не опасаясь высокопарности, сказать, что гармония золотого сечения лежит в основе мироздания.

Пришла, наконец, пора поговорить и о том, как золотое сечение «проникло» в бильярд. Просто непонятно – как раньше мне не приходила в голову мысль, что обсуждаемая божественная пропорция просто обязана была хоть как-то проявиться в такой игре?! Действительно, все мы – любители бильярда – регулярно говорим, о том, что в смысле высокоточной геометрии и динамики наша любимая игра может дать много очков вперёд прочим играм. Но где же, тогда, в бильярде скрыты пропорции вселенской гармонии? На сегодняшний день по этому поводу у меня имеются, к сожалению, всего лишь три соображения.

❶ Первое соображение вытекает из приведённого выше рассказа об игре в преферанс. Сделанные там выводы вполне пригодны для переложения и на бильярд. Ясно, что риск – составная часть бильярдной игры, и игрок перед каждым ударом самостоятельно определяется с тем, какой риск он на себя примет. Для каждой уникальной игровой позиции в текущий момент, сложившейся при сочетании множества совершенно разнородных факторов – текущего счёта, психо-физических состояний соперников, условий освещённости и климатических параметров в бильярдной, количества имеющихся при себе финансовых средств и пр. – существует одна, известная только Всевышнему, оптимальная пропорция между допустимым и запредельно высоким риском. Те игроки, решения которых о принимаемом риске в среднем более близки к оптимальным пропорциям, и выходят победителями в противостояниях. Естественно, речь при этом идёт о соперниках приблизительно одного уровня мастерства. И, что ещё важнее, такой вывод справедлив для игр «в долгую» – когда влияние случайных факторов усредняется. Именно поэтому игроки, научившиеся тонко ощущать эту самую золотую пропорцию в игре и чётко следовать ей, и «сводятся» исключительно на долгие игры. Вы посмотрите на младшего Сталева: он, даже будучи не в состоянии и приблизиться к кладке соперников, играющих с шашками наголо, сводится на игру «в долгую» и «приговаривает» тех, кто далёк от проявлений золотого сечения в бильярде.

❷ Второе соображение связано с расположением центра тяжести в современных киях. Примерно пару лет назад я по этому поводу написал небольшую статейку и разместил её на сайте Дмитрия Комарова – прекрасного мастера-киёвщика, покинувшего, к глубокому сожалению, этот мир в прошедшем 2017 году. (Чтобы этот сайт нашего товарища не канул со временем в лету, мы сделали его копию, доступ к которой можно получить на сайте Хабиба.) В этой статье я предложил любителям бильярда раз и навсегда перейти от использования традиционного баланса (расстояния от бампера кия до центра тяжести) к так называемому «параметру баланса». Этот параметр является безразмерной характеристикой, характеризующей отношение длин тех частей кия, на которые его делит точка расположения центра тяжести: а конкретно – отношение длины короткой части (в районе турняка) к длине длинной части, простирающейся вплоть до ударного конца. Для целей, поставленных в статье, я статистически обработал численные значения параметров двухсот современных киёв, изготовленных известными мастерами и выставленных для продажи на бильярдном рынке. Не знаю даже, как это получилось, но в течение двух лет я вообще не обращал внимание на то, что среднее значение параметра баланса для всей совокупности рассмотренных киёв оказалось удивительно близким к числу 0.382, определяющему пропорцию золотого сечения. Кто-то может сказать, что так получилось случайно. Мне же представляется иначе, ведь эти кии были сделаны вовсе не на мебельной фабрике, а произведены на свет признанными мастерами бильярдного производства; эти инструменты довольно дόроги, и их параметры не могли быть подобраны по принципу тяп-ляп; и самое главное – на рынке купли-продажи вращаются лишь такие кии, характеристики которых сформировались на основе предпочтений людей, понимающих толк в бильярде – обратной стороной этого тезиса является то, что предложение формируется устойчивым спросом. Ну, а если так получается, что при построении качественных киёв подспудно используется принцип золотого сечения, то в будущем кто-то обязательно откроет тайны оптимального применения этого принципа не только по отношению к положению точки баланса, но и в прочих аспектах. Может, именно на этом пути, наконец, раскроется суть оптимального распределения массы кия по всей его длине? Может, после этого кии станут ещё более «игровыми», чем сегодня?

❸ И наконец, третье соображение о том, что магия золотого сечения не обошла стороной бильярдную игру, касается формы игрового поля бильярдного стола. Вроде бы, все давно приучены к тому, что «поляна» бильярда должна быть прямоугольником, длина которого ровно вдвое больше ширины. Кажется, уже давным-давно всех полностью убедили, что именно такая форма бильярда оптимальна. Однако, это – не так. Действительно, чем же объяснить, что в разные годы энтузиасты упорно искали иное решение, которое дало бы преимущества по сравнению с тем, что мы сейчас имеем? Чтобы не быть голословным, приведу несколько изображений столов, не обладающих традиционной пропорцией «два к одному». Например,  в широко известной французской Энциклопедии Дидро и Д’Аламбера в 1771 году появился чертёж такого стола, выполненный в масштабе. Нетрудно заметить, что этот стол менее вытянут, чем столы общепринятой конструкции:

На гравюре О.Гийямо «Бильярдный зал замка Марли», сделанной в 19 веке, изображён стол, форма которого близка к квадратной:

На картине испанского художника Льюиса Катала (семидесятые годы 19-го века) можно видеть, как на столе с «нетрадиционной» пропорциональностью священнослужители в Ватикане играют в карамболь:


На картине русского художника Э.А.Гау (середина 19-го века) изображён интерьер бильярдной комнаты Императора России Александра II в Зимнем дворце. Здесь был установлен стол с пропорциями «три к двум»:

А вот, что можно прочитать в первой книге А.Лемана, выпущенной в свет в 1885 году: «Затем Фрейберг, видя, что все-таки и в его бильярдах есть что-то неладное, начал несколько увеличивать ширину бильярда относительно его длины. Тогда, действительно, лузы сделались открытее и игра удобнее. На таких основаниях А. Фрейберг построил много сотен бильярдов, и русские игроки были ими вполне довольны. Эти бильярды очень тщательно приготовлены, довольно правильны и довольно строги. Между ними изредка встречаются великолепные экземпляры.» Как Вы думаете – зачем это патриарх российского бильярдостроения отошёл от традиционной пропорции «два к одному»? Мне представляется, что он, как раз, и искал так называемую золотую форму стола, подспудно отказываясь от чрезмерно удлиненных столов в пользу столов, более соответствующих пропорции золотого сечения.

В 1890 году в издательстве А.Траншеля была напечатана книга анонимного автора под названием «Бильярд: практическое пособие для правильного изучения теории и техники бильярдной игры». В ней встречаются следующие строки: «Форма бильярда сначала была квадратная; форма эта оказалась неудобной потому,что, при требуемых размерах, трудно достать шаров, стоящих на середине квадрата; кроме того, четырех луз оказалось мало, а восьми – много. Шестиугольники и восьмиугольники допускают значительное разнообразие в отбое шаров, но так же неудобны относительно отдаленности середины, как квадрат. Шестиугольный бильярд впервые появился в Вене, в 1845 г., под названием «звёздного» («Sternbillard»); теперь же совершенно исчез из употребления. Круглые и овальные бильярды, соединяя в себе почти все недостатки прежних форм (и особенно первые), исключают всякую возможность прямых ударов вдоль борта, хотя допускают наибольшее разнообразие в рефлексии. Самой практичной формой оказался удлиненный четырехугольник (параллелограмм), у которого длина на 1/3 больше ширины. Параллелограмм допускает возможность: 1) расположить 6 луз (т.е. меньше 8, но более 4) на равных друг от друга расстояниях; 2) без труда достать, с длинных бортов, каждого шара, находящегося на середине; 3) привести рефлексию к ее простейшему виду; 4) дать больше шансов отыгрышу, и 5) уделить простор «длинным» шарам». Стол, у которого длина игрового поля на треть больше ширины, уже был представлен выше – именно на таком столе играл Александр II.

Энциклопедический словарь Ф.А.Брокгауза и Е.А.Ефрона от 1892 года также доносит до читателей, что стандартный стол имеет пропорцию «три к двум», а не «два к одному»: «Бильярд или Билиард – так называется большой, продолговатый, четвероугольный (параллелограмм) с закраинами (бортами) стол, длина которого на ⅓ более ширины». Между прочим, в ином выпуске этого словаря (в 1912 году) указывается всё та же пропорция «три к двум».

А.Иванов в своей книге от 1912 года «Бильярд» говорит: «Форма первых появившихся в России биллиардов была квадратная и с 4-мя лузами; эта форма оказалась не совсем удобною, так как стоящих шаров на середине квадрата, играть было почти невозможно; кроме того, 4-х луз оказалось мало и вскоре стали появляться биллиарды с 8-ми лузами, но восьми лузные биллиарды тоже не привились так как нашли, что 8 луз чересчур много, а поэтому и был выработан фасон биллиарда с шестью лузами, а также было обращено внимание и на ширину биллиарда. Стали делать продолговатые биллиарды, а впоследствии остановились на ширине приблизительно в половину его длины. Этой формы придерживаются и до сего времени. Форма эта оказалась вполне удовлетворительной». Отсюда следует, что пропорция стола была близка к 2 : 1, но не являлась именно такой.

Думаю, читателю будет интересно узнать и мысленно представить – каким будет бильярдный стол, в точности отвечающий пропорциям золотого сечения. Если взять современный пирамидный стол и укоротить его (то есть, уменьшить длину) на 67 сантиметров, то получится как раз такой «золотой» стол. Ширина у него останется такой же, как у большого стола, а вот длина станет примерно равной длине его десяти-футового собрата. Ну, разве это – не любопытная конструкция? Неужели Вам не хочется "пощупать" геометрию игры на таком столе? Хотя, как мне предварительно кажется, несколько коротковат будет такой стол для нас – за долгие годы привыкших к полноразмерной 12-футовой поляне. Как сказано в фильме «Александр Невский», «коротка кольчужка-то» будет. Ну, а если не укорачивать стол, и пойти другим путём – сделать его шире; что тогда получится? А в таком случае стол, построенный по пропорции золотого сечения, будет на 41 сантиметр шире привычного по сегодняшним меркам стола. И вот ведь какая «загогулина» – несколько лет назад я сыграл несколько партий на примерно таком столе дореволюционного производства; он стоит в бильярдной Центрального Дома Учёных РАН на Пречистенке. Скажу, что это было несколько непривычно, но довольно любопытно. Может, всё-таки, будущее Русского Биллиарда – именно за столами с подобной пропорцией?